Um Automato Celular é um sistema matemático que imita o comportamento de sistemas complexos, como ecossistemas, crescimento de plantas e padrões de tráfego. Eles consistem em uma grade de células que podem estar em diferentes estados, e regras que determinam como o estado de uma célula é afetado pelos estados das células adjacentes.
Os Automatos Celulares são geralmente descritos como sendo “discretos” e “paralelos”. Isso significa que o tempo e o espaço são discretizados e que todas as células são atualizadas ao mesmo tempo. Cada célula pode estar em apenas um dos poucos estados possíveis, como “viva” ou “morta”, e as regras que governam a transição de um estado para outro são baseadas nas relações entre as células adjacentes.
Podem ser usados para modelar uma ampla gama de sistemas complexos, desde processos biológicos até fenômenos sociais. Eles são amplamente utilizados na investigação da teoria da complexidade, pois ajudam a explorar como pequenas regras simples podem resultar em comportamentos complexos.
Alguns exemplos de Automatos Celulares incluem o Jogo da Vida de Conway, Automatos de Regra de Transição, Automatos de Deterministica Total (Turing), Automatos de Crescimento de Plantas, Automatos de Propagação de Fogo, entre outros. Cada um destes sistemas é caracterizado por suas próprias regras, estados e comportamentos, e eles têm sido amplamente estudados e aplicados para entender a natureza da complexidade e como sistemas dinâmicos evoluem ao longo do tempo.
Eles foram concebidos pela primeira vez na década de 1940 por Stanislaw Ulam e John von Neumann, como uma forma de simular sistemas biológicos.
O Jogo da Vida é um exemplo específico de Automato Celular, inventado por John Horton Conway em 1970. O jogo foi originalmente concebido como um passatempo, mas logo se tornou uma ferramenta importante para a investigação da teoria da complexidade. O Jogo da Vida é conhecido por suas propriedades surpreendentes, como o surgimento de padrões complexos a partir de regras simples, e é amplamente utilizado como um modelo para a investigação de sistemas dinâmicos.
Desde então, os Automatos Celulares têm sido amplamente estudados e aplicados em uma variedade de campos, incluindo a biologia, a física, a matemática e a computação. Eles têm sido usados para simular fenômenos naturais, desenvolver novas tecnologias e aprimorar a compreensão da complexidade. O Jogo da Vida de Conway é apenas um dos muitos exemplos de como os Automatos Celulares têm contribuído para o avanço da ciência e da tecnologia.
Vamos implementar o Jogo da Vida em Python para podermos entender o comportamento e o quão poderesa é essa ferramenta.
O jogo é implementado em uma grade de células, cada uma delas pode estar viva ou morta. A grade é atualizada a cada iteração, com base nas seguintes regras:
- Se uma célula estiver viva e tiver menos do que 2 vizinhos vivos, ela morre por solidão.
- Se uma célula estiver viva e tiver 2 ou 3 vizinhos vivos, ela sobrevive.
- Se uma célula estiver viva e tiver mais do que 3 vizinhos vivos, ela morre por superpopulação.
- Se uma célula estiver morta e tiver exatamente 3 vizinhos vivos, ela renasce.
Essas regras simples levam a uma série de padrões complexos e interessantes, como crescimento e decaimento de populações, propagação de ondas, e oscilações estáveis. O Jogo da Vida é amplamente utilizado como uma ferramenta para a investigação da teoria da complexidade e da inteligência artificial. Além disso, é uma ferramenta divertida e desafiadora para brincar!
- Passo: Importar as bibliotecas necessarias
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animationO NumPy é uma biblioteca de computação científica para Python que fornece suporte para arrays multidimensionais, operações matemáticas e estatísticas sofisticadas. Ele é uma das bibliotecas mais importantes e amplamente utilizadas para cálculos científicos e análise de dados em Python.
O Matplotlib é uma biblioteca de visualização de dados para o Python. Ela permite que você crie uma ampla gama de gráficos, incluindo linhas, barras, histogramas, gráficos de dispersão, gráficos de pizza, entre outros
2. Passo: Criar funcao que gera a grade inicial
def create_grid(N):
grid = np.zeros((N, N))
grid[10, 10] = 1
grid[10, 11] = 1
grid[10, 12] = 1
grid[11, 12] = 1
grid[12, 11] = 1
return gridA função create_grid(N) é usada para criar uma grade (grid) de tamanho N x N contendo apenas zeros. Aqui, N é o parâmetro que determina o tamanho da grade e a função np.zeros é usada para criar a matriz de zeros. A sintaxe grid[10,10] = 1, no exemplo, preenche o elemento da linha 10 e da coluna 10 com o numero 1. Assim, a funcao preenche cinco células da grade com valores 1. As células são selecionadas com índices [10, 10], [10, 11], [10, 12], [11, 12] e [12, 11].
3. Passo: Criar funcao para analisar a vizinhanca da celula
def count_neighbors(grid, i, j):
count = 0
for x in [-1, 0, 1]:
for y in [-1, 0, 1]:
if x == 0 and y == 0:
continue
row = (i + x) % grid.shape[0]
col = (j + y) % grid.shape[1]
count += grid[row, col]
return counA função “count_neighbors” é usada para contar a quantidade de vizinhos vivos de uma célula específica em uma grade (grid). A função tem três argumentos: “grid”, “i” e “j”. O argumento “grid” é a grade do jogo da vida. O argumento “i” é a linha da célula específica que está sendo avaliada. O argumento “j” é a coluna da célula específica que está sendo avaliada.
Primeiro se inicializa uma variável “count” para armazenar a contagem de vizinhos vivos. Em seguida, um loop é usado para percorrer todos os vizinhos da célula específica. Para evitar contar a célula específica como um de seus próprios vizinhos, a verificação “if x == 0 and y == 0:” é usada para saltar essa iteração se x e y são ambos iguais a zero.
A posição dos vizinhos na grade é determinada usando o operador módulo (%) para lidar com as bordas da grade. Por exemplo, se a célula específica estiver na primeira linha (0), o vizinho na linha anterior seria a última linha (N – 1). O mesmo se aplica às colunas. Depois de determinar a posição do vizinho, o valor na grade na posição (row, col) é adicionado à variável “count”.
Ao final do loop, a função retorna o valor total de vizinhos vivos, armazenado na variável “count”.
4. Passo: Criar a função que irá fazer a transição de estado de cada elemento da grade.
def step(grid):
new_grid = grid.copy()
for i in range(grid.shape[0]):
for j in range(grid.shape[1]):
count = count_neighbors(grid, i, j)
if grid[i, j] == 1:
if count < 2 or count > 3:
new_grid[i, j] = 0
else:
if count == 3:
new_grid[i, j] = 1
return new_gridA função “step” é responsável por calcular a próxima geração da simulação do jogo da vida de Conway. Ela é chamada a cada passo da animação para atualizar o estado das células da grade.
A função começa criando uma cópia da grade atual, a fim de não alterar a grade original. Em seguida, ela faz um loop através de todas as linhas e colunas da grade, verificando o estado de cada célula. Para cada célula, a função “count_neighbors” é chamada para contar o número de células vizinhas vivas.
Com base no número de vizinhos vivos, a função “step” determina se a célula deve sobreviver ou morrer na próxima geração. Se a célula estiver viva e tiver menos de 2 ou mais de 3 vizinhos vivos, ela morre na próxima geração. Se a célula estiver morta e tiver exatamente 3 vizinhos vivos, ela nasce na próxima geração. Caso contrário, o estado da célula não muda.
Após verificar o estado de todas as células, a função “step” retorna a nova grade, que será usada na próxima iteração da animação.
5. Passo: Criar a função que irá gerar cada frame da animação.
def animate(i):
global grid
grid = step(grid)
im.set_array(grid)
return [im]A função animate(i) é uma função gerada para ser utilizada pelo módulo de animação do matplotlib. Ela tem como objetivo gerar cada frame da animação.
Ela recebe como entrada o parâmetro i que representa o número do frame corrente da animação. A função tem acesso a uma variável global chamada grid que representa o estado atual da grade.
A primeira coisa que a função faz é atualizar o estado da grade aplicando a função step(), que é responsável por fazer a transição de estado de cada elemento da grade. Em seguida, a função utiliza o método set_array() do objeto im para definir o novo estado da grade para ser mostrado no frame corrente da animação.
Por fim, a função retorna uma lista contendo o objeto im para que ele seja exibido na animação.
6. Passo: Gerar a animação com a transição de estados ao longo do tempo
N = 100
grid = create_grid(N)
fig, ax = plt.subplots()
im = ax.imshow(grid, cmap='gray_r', animated=True)
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=200, interval=20, blit=True)
plt.show()A código acima é uma combinação de várias chamadas de funções e estruturas que criam e exibem uma animação do jogo da vida.
A variável N é definida com o valor 100 e usada como o tamanho da grade que será usada no jogo. A função create_grid(N) é chamada para criar uma grade com zeros e alguns valores de 1.
Em seguida, é criado um subplot utilizando a função plt.subplots() e armazenado em duas variáveis fig e ax. A função ax.imshow(grid, cmap='gray_r', animated=True) é chamada para exibir a grade inicial como uma imagem.
A função animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=200, interval=20, blit=True) é usada para gerar a animação, usando a função animate para atualizar a imagem a cada frame. O número de frames é definido como 200 e o intervalo de tempo entre cada frame é de 20 milissegundos. A opção blit=True é usada para melhorar a performance da animação.
Por fim, a função plt.show() é chamada para exibir a animação na tela.
Com isso, obteremos um resultado semelhante à animação abaixo:
Podemos gerar outros padrões de evolução completamente diferentes do gerado acima, bastando mudar as regras de transição de estado.